【动态规划】分组背包

完全背包是枚举第`i`个物品选几个，分组背包是枚举第`i`组物品选那个。

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**理解分组背包：**

- N组：水果、蔬菜
  - 水果：葡萄、香蕉、苹果
  - 蔬菜：萝卜、白菜

# 分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

#### 输入格式

第一行有两个整数 `N`，`V`，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 `N` 组数据：

* 每组数据第一行有一个整数 `Si`，表示第 `i` 个物品组的物品数量；
* 每组数据接下来有 `Si` 行，每行有两个整数 `vij`,`wij`，用空格隔开，分别表示第 `i`个物品组的第`j` 个物品的体积和价值；

#### 输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

#### 数据范围

`0<N,V≤100`

`0<Si≤100 `

`0<vij,wij≤100`

#### 输入样例

```
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
```

#### 输出样例：

```
8
```

## 基本思考框架

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2022/01/2692750078.png)

```cpp
include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int f[N][N];  //只从前i组物品中选，当前体积小于等于j的最大值
int v[N][N],w[N][N],s[N];   //v为体积，w为价值，s代表第i组物品的个数
int n,m,k;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++){
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];  //读入
        }
    }

for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];  //不选
            for(int k=0;k<s[i];k++){
                if(j>=v[i][k])     f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);  
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
}
```

因为只用到了第i-1列，所以可以仿照01背包的套路逆向枚举体积

```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110;
int f[N];
int v[N][N],w[N][N],s[N];
int n,m,k;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>s[i];
        for(int j=0;j<s[i];j++){
            cin>>v[i][j]>>w[i][j];
        }
    }

for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=m;j>=0;j--){
            for(int k=0;k<s[i];k++){    //for(int k=s[i];k>=1;k--)也可以
                if(j>=v[i][k])     f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);  
            }
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}
```

最后修改：2022 年 01 月 07 日