基本思考框架

废话少说,看看什么是完全背包:

完全背包

N 种物品和一个容量是 V 的背包,每种物品都有无限件可用。

i 种物品的体积是 vi,价值是 wi

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数NV,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

10

完全背包的每个物品可以用无限次,其他条件与01背包一致。

分析

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
        for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
            for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);

    cout<<f[n][m]<<endl;
}

优化

我们观察f[i][j] = f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k,对k展开,v[i]v表示,w[i]w表示:

$$ f[i][j] = Max(f[i-1][j], f[i-1][j-v]+w, f[i-1][j-2v]+2w,f[i-1][j-3v]+3w,...) $$

$$ f[i][j-v] = Max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,f[i-1][j-3v]+2w,...) $$

观察可以发现,下面这个规律:

我们最后得到状态转移方程: f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w)

有了上面的关系,那么其实k循环可以不要了,核心代码优化成这样:

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
    {
        f[i][j] = f[i-1][j];
        if(j-v[i]>=0)
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
    }

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下,下面是01背包的核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
    {
        f[i][j] = f[i-1][j];
        if(j-v[i]>=0)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

两个代码其实只有一句不同(注意下标)

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包

f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

因为和01背包代码很相像,我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样

 for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了,这里的j是从小到大枚举,和01背包不一样
    {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }

综上所述,完全背包的最终写法如下:

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
        for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)
        {
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    cout<<f[m]<<endl;
}
最后修改:2022 年 01 月 07 日
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