有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

8

优化一般就是优化状态转移方程

01背包

特点: 每个物品仅能使用一次
重要变量&公式解释
f[i][j]:表示所有选法集合中,只从前i个物品中选,并且总体积$\le j$的选法的集合,它的值是这个集合中每一个选法的最大值.

状态转移方程

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i])

f[i-1][j]:不选第i个物品的集合中的最大值

f[i-1][j-v[i]]+w[i]:选第i个物品的集合,但是直接求不容易求所在集合的属性,这里迂回打击一下,先将第i个物品的体积减去,求剩下集合中选法的最大值.

问题

集合如何划分

  • 一般原则:不重不漏,不重不一定都要满足(一般求个数时要满足)
  • 如何将现有的集合划分为更小的子集,使得所有子集都可以计算出来.

无优化版

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;
 return 0;  
}

有优化版

  1. f[i] 仅用到了f[i-1]层,
  2. j与j-v[i] 均小于j
  3. 若用到上一层的状态时,从大到小枚举, 反之从小到大哦
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = m; j >= v[i]; j--) 
            f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
    cout << f[m] << endl;
 return 0;  
}
最后修改:2022 年 01 月 07 日
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