【题目典例】2000年NOIP提高组 - 方格取数

Fivk

2022 年 07 月 03 日

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题目典例

# [NOIP2000 提高组] 方格取数

## 题目描述

设有 $N \times N$ 的方格图 $(N \le 9)$，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 $0$。如下图所示（见样例）:

```plain
A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B
```

某人从图的左上角的 $A$ 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 $B$ 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 $0$）。
此人从 $A$ 点到 $B$ 点共走两次，试找出 $2$ 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

## 输入格式

输入的第一行为一个整数 $N$（表示 $N \times N$ 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 $0$ 表示输入结束。

## 输出格式

只需输出一个整数，表示 $2$ 条路径上取得的最大的和。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0
```

### 样例输出 #1

```
67
```

## 提示

NOIP 2000 提高组第四题

# 解析

这题，是四维动规的模板题，和P1006传纸条基本相似。

我们考虑两个人同时走，就相当于数字三角形。状态转移方程为：

$$
f[i][j][k][l]=max(f[i-1][j][k-1][l], f[i-1][j][k][l-1], f[i][j-1][k-1][l],f[i][j-1][k][l-1])+a[i][j]+a[k][l]

不过要判断`i==k&&j==l`的情况。

代码如下：

```java
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int f[][][][] = new int[12][12][12][12];
        int a[][] = new int[12][12];
        int n, x, y, z;
  
        // 输入n
        n = sc.nextInt();
  
        // 输入处理
        while(true) {
            x = sc.nextInt();
            y = sc.nextInt();
            z = sc.nextInt();
      
            // 退出条件
            if (x == 0 && y == 0 && z == 0) {
                break;
            }
      
            a[x][y] = z;
        }
  
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            for (int j = 1; j <= n; j ++) {
                for (int k = 1; k <= n; k ++) {
                    for (int l = 1; l <= n; l ++) {
                        int max = f[i - 1][j][k - 1][l];
                  
                        if (max < f[i - 1][j][k][l - 1]) {
                            max = f[i - 1][j][k][l - 1];
                        }
                  
                        if (max < f[i][j - 1][k - 1][l]) {
                            max = f[i][j - 1][k - 1][l];
                        }
                  
                        if (max < f[i][j - 1][k][l - 1]) {
                            max = f[i][j - 1][k][l - 1];
                        }
                  
                        f[i][j][k][l] = max + a[i][j] + a[k][l];
                  
                        if (i == k && j == l) f[i][j][k][l] -= a[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(f[n][n][n][n]);
    }
}
```

最后修改：2022 年 07 月 03 日