【动态规划】石子合并

博主： Fivk
发布时间：2022 年 01 月 08 日
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792字数
分类：题目典例

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有 4 堆石子分别为 `1 3 5 2`， 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 `4 5 2`， 又合并 1，2 堆，代价为 9，得到 `9 2` ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 `4 7`，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

#### 输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 **N**N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

#### 输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

#### 数据范围

1≤N≤300

#### 输入样例：

```
4
1 3 5 2
```

#### 输出样例：

```
22
```

#### 基本思想框架

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2022/01/2039114027.png)

**题意：** 合并 N 堆石子，每次只能合并相邻的两堆石子，求最小代价

**思路：**

核心：最后一次合并一定是左边连续的一部分和右边连续的一部分进行合并

状态表示：$f[i][j]$ 表示将 $i$ 到 $j$ 合并成一堆的方案的集合，属性 $Min$

状态计算：
(1) $i<j$ 时，$f[i][j]=\underset {i≤k≤j−1}{min}f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]−s[i−1]$
(2) $i=j$ 时， $f[i][i]=0$ （合并一堆石子代价为 0）

问题答案： $f[1][n]$

**区间 DP 常用模版**
所有的区间dp问题，第一维都是枚举区间长度，一般 len = 1 用来初始化，枚举从 len = 2 开始，第二维枚举起点 i （右端点 j 自动获得，j = i + len - 1）

```cpp
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i][i] = 初始值
}
for (int len = 2; len <= n; len++)           //区间长度
    for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) { //枚举起点
        int j = i + len - 1;                 //区间终点
        for (int k = i; k < j; k++) {        //枚举分割点，构造状态转移方程
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + w[i][j]);
        }
    }
```

#### C++代码

```cpp
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 307;

int a[N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i - 1] + a[i];
    }

// 区间 DP 枚举套路：长度+左端点 
    for (int len = 1; len < n; len ++) { // len表示i和j堆下标的差值
        for (int i = 1; i + len <= n; i ++) {
            int j = i + len; // 自动得到右端点
            f[i][j] = 1e8; // 初始化为一个较大值
            for (int k = i; k <= j - 1; k ++) { // 必须满足k + 1 <= j
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }

cout << f[1][n] << endl;

return 0;
}
```

#### 倒叙枚举

除了按长度枚举，也可以倒着枚举，因为只要保证每种状态都被提前计算即可
[这里](https://leetcode-cn.com/problems/burst-balloons/solution/)有图示，介绍枚举的顺序选择

```cpp
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 307;

int s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i - 1];
    }

for (int i = n; i >= 1; i--) {
        for (int j = i; j <= n; j++) {
            if (j == i) {
                f[i][j] = 0;
                continue;
            }
            f[i][j] = 1e9;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]);
            }
        }
    }

cout << f[1][n] << endl;

return 0;
}
```

#### 记忆化搜索

如果学过后面的记忆化搜索，那也可以用下面的代码。虽然时间会比递推稍微慢一丢丢，但是呢他的思路比较好写

```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 307;

int a[N], s[N];
int f[N][N];

// 记忆化搜索：dp的记忆化递归实现
int dp(int i, int j) {
    if (i == j) return 0; // 判断边界
    int &v = f[i][j];

if (v != -1) return v;

v = 1e8;
    for (int k = i; k <= j - 1; k ++)
        v = min(v, dp(i, k) + dp(k + 1, j) + s[j] - s[i - 1]);

return v;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i - 1] + a[i];
    }

memset(f, -1, sizeof f);

cout << dp(1, n) << endl;

return 0;
}
```

最后修改：2022 年 01 月 08 日

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哈哈时过境迁再看一遍帆的文章质量还是那么高
挺胸的打工人
感谢博主分享
菜菜
一天就学一些我不知道的东西(´இ皿இ｀)
zhanqy
博主赛高！
null ？？［］
还可以把扩展运算符加上呀，这个很有用［…arr］，用于数组合...

【动态规划】石子合并

Fivk • 2022 年 01 月 08 日

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。

如果第二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 `4 7`，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

#### 输入格式

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 **N**N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

#### 输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

#### 数据范围

1≤N≤300

#### 输入样例：

```
4
1 3 5 2
```

#### 输出样例：

```
22
```

#### 基本思想框架

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2022/01/2039114027.png)

**题意：** 合并 N 堆石子，每次只能合并相邻的两堆石子，求最小代价

**思路：**

核心：最后一次合并一定是左边连续的一部分和右边连续的一部分进行合并

状态表示：$f[i][j]$ 表示将 $i$ 到 $j$ 合并成一堆的方案的集合，属性 $Min$

状态计算：
(1) $i<j$ 时，$f[i][j]=\underset {i≤k≤j−1}{min}f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]−s[i−1]$
(2) $i=j$ 时， $f[i][i]=0$ （合并一堆石子代价为 0）

问题答案： $f[1][n]$

#### C++代码

```cpp
#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 307;

int a[N], s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i - 1] + a[i];
    }

cout << f[1][n] << endl;

return 0;
}
```

#### 倒叙枚举

```cpp
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 307;

int s[N];
int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> s[i];
        s[i] += s[i - 1];
    }

cout << f[1][n] << endl;

return 0;
}
```

#### 记忆化搜索

如果学过后面的记忆化搜索，那也可以用下面的代码。虽然时间会比递推稍微慢一丢丢，但是呢他的思路比较好写

```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 307;

int a[N], s[N];
int f[N][N];

// 记忆化搜索：dp的记忆化递归实现
int dp(int i, int j) {
    if (i == j) return 0; // 判断边界
    int &v = f[i][j];

if (v != -1) return v;

v = 1e8;
    for (int k = i; k <= j - 1; k ++)
        v = min(v, dp(i, k) + dp(k + 1, j) + s[j] - s[i - 1]);

return v;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        cin >> a[i];
        s[i] += s[i - 1] + a[i];
    }

memset(f, -1, sizeof f);

cout << dp(1, n) << endl;

return 0;
}
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