【算法基础】搜索与回溯算法

博主： Fivk
发布时间：2021 年 03 月 21 日
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分类：算法基础知识总结

# 算法介绍

搜索与回溯是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的基本思想是：为了求得问题的解，先选择某一种可能情况向前探索，在探索过程中，一旦发现原来的选择是错误的，就退回一步重新选择，继续向前探索，如此反复进行，直到得到解或证明无解。

如迷宫问题：进入迷宫，先随意选择一个前进方向，一步步向前试探前进，如果碰到死胡同，说明前进方向已经无路可走。这时首先看其他地方是否还有其他路可走：如果有路可走，则沿该方向再向前试探；如果已无路可走，则返回一步，再看其他方向是否还有路可走。按此原则不断搜索回溯再搜索，直到找到新的出入或从原路返回入口处无解为止。

---

# 算法框架

* 递归回溯算法框架[一]

```C
int search(int k) {
    for (i = 1; j <= 算符种数; i++) {
        if (满足条件) {
	    保存结果
	    if (到目的地) 输出解;
	    else search(k + 1);
	    恢复：保存结果之前的状态(回溯一步)
	}
    }
}
```

* 递归回溯算法框架[二]

```C
int search(int k) {
    if (目的地) 输出解;
    else {
	for(i=1;j<=算符种数;i++)
	     if (满足条件) {
		保存结果;
		search(k + 1);
		恢复：保存结果之前的状态(回溯一步)
	     }
	}
}
```

---

# 算法例题

### 例1：素数环

素数环：将1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
</div>

非常明显，这是一道回溯的题目。将1开始，每个空位有20种可能，只要填进去的数合法：与前面的数不相同；与左边相邻的数的和是一个素数。第20个数还要判断和第1个数的和是否素数。

* 数据初始化
* 递归填数：判断第i个数填入是否合法。

1. 如果合法：填数；判断是否达到目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；
2. 如果不合法：选择下一种可能。

```C++
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;
bool b[21] = { 0 };
int total = 0, a[21] = { 0 };
int search(int);				//回溯过程
void print();					//输出方案
bool pd(int, int);				//判断素数

int main(int argc, char* argv[])
{
	search(1);
	cout << total << endl;		//输出总方案数
	return 0;
}

int search(int t)
{
	int i;
	for (i = 1; i <= 20; i++)			//有20个数可选
		if (pd(a[t - 1], i) && (!b[i]))	//判断与前一个数是否构成素数及该数是否可用
		{
			a[t] = i;
			b[i] = 1;
			if (t == 20)
			{
				if (pd(a[20], a[1]))
					print();
			}
			else {
				search(t + 1);
			}
			b[i] = 0;
		}
}

void print()
{
	total++;
	cout << "<" << total << ">";
	for (int j = 1; j <= 20; j++)
		cout << a[j] << " ";
	cout << endl;
}

bool pd(int x, int y)
{
	int k = 2, i = x + y;
	while (k <= sqrt(i) && i % k != 0) k++;
	if (k > sqrt(i)) return 1;
	else return 0;
}
```

我输出了很久3天了。。。。到了6千万，然后。。不小心让电脑关机了

有兴趣的朋友可以试一试，发给博主哦^_^

![博主还没有输出完，预计上亿结果。](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/1439764007.png)

### 例2：全排列

全排列plus：设有n个整数的集合{1，2，......，n}，从中任意取出r个数进行排列（r<n），试列出所有的排列。
</div>

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;

int num, a[10001] = { 0 }, n, r;
bool b[10001] = { 0 };
void search(int);						//回溯过程
void print();							//输出方案

int main()
{
	cout << "input n,r:";
	cin >> n >> r;
	search(1);
	cout << "number=" << num << endl;	//输出方案总数
	return 0;
}

void search(int k)
{
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (!b[i])						//判断i是否可用
		{
			a[k] = i;					//保存结果
			b[i] = 1;
			if (k == r) print();
			else search(k + 1);
			b[i] = 0;
		}
	}
}

void print()
{
	num++;
	for (int i = 1; i <= r; i++)
		cout << setw(3) << a[i];
	cout << endl;
}
```

博主大一上，遇到了这个题，当真的不知道怎么下手，现在看来，是真的好简单。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3014795148.png)

### 例3：拆分自然数

任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。当n=7，共有14种拆分法：

7=1+1+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+2

7=1+1+1+1+3

7=1+1+1+2+2

7=1+1+2+3

7=1+1+5

7=1+2+2+2

7=1+2+4

7=1+3+3

7=1+6

7=2+2+3

7=2+5

7=3+4

total=14

</div>

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int a[10001] = { 1 }, n, total;
void search(int, int);
void print(int);

int main()
{
	cin >> n;
	search(n, 1);
	cout << "total=" << total << endl;
	return 0;
}

void search(int s, int t)
{
	int i;

for (i = a[t - 1]; i <= s; i++)
	{
		if (i < n)						//当前数i要大于前1为数，且不超过n
		{
			a[t] = i;					//保存当前拆分的数i
			s -= i;						//当s==0时，拆分结束输出结果

if (s == 0) 
				print(t);//当s>0时，继续递归
			else 
				search(s, t + 1);

s += i;						//回溯：加上拆分的数，以便产生说有可能的拆分
		}
	}
}

void print(int t)
{
	cout << n << "=";
	for (int i = 1; i <= t - 1; i++)	//输出一种拆分方法
		cout << a[i] << "+";
	cout << a[t] << endl;
	total++;							//方案数累加 1
}
```

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/2510304376.png)

### 例4：八皇后

八皇后问题：要在国际象棋棋盘中方八个皇后，使任意两个皇后都不能互相通吃。

（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）

放置第i个（行）皇后的算法为：

```C++
void search(i)
{
	int j;
	for (第i个皇后的位置 j = 1; j <= 8; j++)	//在本行的8列中去试
	{
		if (本行列允许放置皇后)
		{
			放置第i个皇后;
			对放置皇后的位置进行标记;
			if (i == 8) 输出;				//已经放完八个皇后
			else search(i + 1);
			对放置皇后的位置释放标记，尝试下一个位置是否可行;
		}
	}
}
```

</div>

显然问题的关键在于如何判定某个皇后所在的行、列、斜线上是否有别的皇后；可以从矩阵的特点上找到规律，如果在同一行，则行号相同；如果在同一列上，则列号相同；如果同在/斜线上，则行列值之和相同；如果在\斜线上，则行列只差相同；从图可验证：![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/03/2992275596.png)

考虑每行有且仅有一个皇后，设一维数组a[1~8]表示皇后放置位置：第i行皇后放在第j列，用a[i]=j来表示，即下标是行数，内容是列数。例如a[3]=5就表示第3个皇后在第3行第5列上。

判断皇后是否安全，即检查同一列、同一对角线是否已有皇后，建立标志数组b[1 ~ 8]控制同一列只能有一个皇后，若两个皇后在同一对角线上，则其他行列坐标之和或坐标只差相等，故亦可建立标志数组，c[1 ~ 16]、d[-7 ~ 7]控制同一对角线上只能有一个皇后。

如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值之差相同。在这种方式下，要表示两个皇后 i 和 j 不在一列或斜线上的条件可以表述为：

```C++
(a[i]!=a[j)&&(abs(i-j))!=abs(a[i]-a[j])
//i 和 j 分别表示两个皇后的行号
```

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

bool d[17] = { 0 }, b[9] = { 0 }, c[17] = { 0 };
int sum = 0, a[9];
void search(int);
void print();

int main()
{
	search(1);						//从第 1 个皇后开始放置
	return 0;
}

void search(int i)
{
	int j;
	for (j = 1; j <= 8; j++)		//每个皇后都有8个位置（列）可以式放
		if ((!b[j]) && (!c[i + j]) && (!d[i - j + 7]))
									//寻找放置皇后的位置
									//由于C++不能操作负数组，因此考虑加 7
		{							//摆放皇后，建立相应标志值
			a[i] = j;				//摆放皇后
			b[j] = 1;				//宣布占领第j列
			c[i + j] = 1;			//占领 两个对角线
			d[i - j + 7] = 1;		//由于C++不能操作负数组，因此考虑加 7
			if (i == 8) print();	//8个皇后都放置好，输出
			else search(i + 1);		//继续递归放置下一个皇后
			b[j] = 0;
			c[i + j] = 0;
			d[i - j + 7] = 0;
		}
}

void print()
{
	int i;
	sum++;							//方案数累加 1
	cout << "sum=" << sum << endl;
	for (i = 1; i <= 8; i++)		//输出一种方案
		cout << setw(4) << a[i]; 
	cout << endl;
}
```

现在给你看了哦，八皇后问题有92种解。也是大一上，我现在也刚刚大一下嘛，当时读完题目感觉收到降维打击。qvq

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3415955080.png)

### 例5：马的遍历

中国象棋半张象棋盘如图所示。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/03/1811036926.png)

马自左下角往有上角跳。今规定只许往右跳，不许往左跳。比如按照图中一种跳行路线，并将所经路线打印出来。打印格式为：

0,1 -> 2,1 -> 3,3 -> 1,4 ->3,5 ->2,7 -> 4,8 ......

</div>

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/03/1794011921.png)

如图，马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i，则四个方向的移动可表示为：

1. (i,j) -> (i+2,j+1)		(i<3,j<8)
2. (i,j) -> (i+1,j+2)		(i<4,j<7)
3. (i,j) -> (i-1,j+2)		(i>0,j<7)
4. (i,j) -> (i-2,j+1)		(j>1,j<8)

搜索策略：

1. a[1]=(0,0);
2. 从a[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是(4,8)则打印路径，否则继续搜索下一个到达的顶点。

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>

using namespace std;

int a[100][3], t = 0;							//路径总数和路径
int x[4] = { 2,1,-1,-2 }, y[4] = { 1,2,2,1 };	//四种移动规律

void search(int);								//搜索
void print(int);									//打印

int main()
{
	a[1][1] = 0;
	a[1][2] = 0;								//从坐标（0，0）开始往右跳第二步
	search(2);
	cout << "count = " << t;
	return 0;
}

void search(int i)
{
	for (int j = 0; j <= 3; j++)			//往4个方向跳
	{
		if (a[i - 1][1] + x[j] >= 0 && a[iz - 1][1] + x[j] <= 4 && a[i - 1][2] + y[j] >= 0 && a[i - 1][2] + y[j] <= 8)
											//判断马不越界
		{
			a[i][1] = a[i - 1][1] + x[j]; 	//保留当前马的位置
			a[i][2] = a[i - 1][2] + y[j];
			if (a[i][1] == 4 && a[i][2] == 8)
				print(i);
			else
				search(i + 1);				//搜索下一步
		}
	}
}

void print(int n)
{
	int i;
	t++;
	for (i = 1; i < n; i++)
		cout << a[i][1] << ',' << a[i][2] << " -> ";
	cout << "4,8" << endl;
}
```

这个是我学习前面几个题后，我自己写出来的第一个回溯题，当时写出来真的好高兴。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3585108915.png)

### 例6：工作效益

设有A、B、C、D、E五人从事J1、J2、J3、J4、J5 五项工作，每人只能从事一项，他们的效益如图所示

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/1350730184.png)

每个人选择 五项工作中的一种，在各种选择的组合中，找到效益最高的一种组合输出。

</div>

一、用数组f储存搜索中 工作选择的方案；数组g存放最优的工作选择方案；数组p用于表示某项工作有没有被选择了。

二、

1. 选择p[i]=0的第i项工作
2. 判断效益是否高于max已记录的效益，若高于则更新g数组及max的值。
3. 搜索策略：回溯法（深度优先搜索dfs）。

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

int data[6][6] = {
	{0,0,0,0,0,0},
	{0,13,11,10,4,7},
	{0,13,10,10,8,5},
	{0,5,9,7,7,4},
	{0,15,12,10,11,5},
	{0,10,11,8,8,4}
};

int max1 = 0, g[10], f[10];
bool p[6] = { 0 };
void go(int step, int t)					//step是第几个人，t是之前已得的效益
{
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
		if (!p[i])
		{								//判断第i项工作没人选择
			f[step] = i;				//第step个人，就选第i项工作
			p[i] = 1;					//标记第i项工作被人安排了
			t += data[step][i];			//计算效益值

if (step < 5) 
				go(step + 1, t);
			else if (t > max1)
			{
				max1 = t;
				for (int j = 1; j <= 5; j++)
					g[j] = f[j];		//保存最优效益下的工作选择方案
			}

t -= data[step][i];			//回溯
			p[i] = 0;

}
}

int main()
{
	go(1, 0);
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
		cout << char(64 + i) << ":J" << g[i] << setw(3);	//输出各项工作安排情况
	cout << endl;
	cout << "supply:" << max1 << endl;						//输出最佳效益值
}
```

这个不知道对没对，应为是我上个星期做的题了，应该是没对，应为如果对了我因该会记得很清楚，但是写了。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/186568606.png)

### 例7：选书

放寒假时，信息学竞赛辅导老师有A、B、C、D、E 五本书，要分给参加培训的张、王、刘、孙、李五位同学，每个人只能选一本书。老师先让每个人将自己喜欢的书填在如下的表格中，然后根据他们填写的表来分配书本，希望设计一个程序帮助老师求出所有可能的分配方案，使每个学生都满意。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/4007444238.png)

</div>

可用穷举法，先不考虑“每个人都满意”这一条件，这样只剩“每个人选一本且只能选一本”这一条件。在这个条件下，可行解就是五本书所有的全排列，一共有5！=120种。然后在这120种可行解中一一删去不符合“每个人都满意”的解，留下的就是本题的解答。

为了编程方便，设1、2、3、4、5分别表示这五本书。这五个数的一种全排列就是五本书的一种分发。例如54321就表示第5本书（即E）分给张，第四种书（即D）分给王，...  ，第1本书（即A）分给李。“喜爱1书表”可以用二维数组来表示，1表示喜爱，0表示不喜爱。

算法设计：

* S1：产生5个数字的一个全排列；
* S2：检查是否符合“喜爱书表”的条件，如果符合就打印出来；
* S3：检查是否所有的排列都产生了，如果没有产生完，则返回S1；
* S4：结束。

上述算法可能有可以改进的地方。比如产生了一个全排列12345，从中可以看出，选第一本即给张同学的书，1是不可能的，应为张同学只喜欢第3、4本书。这就是说，1XXXX一类的分发都是不符合条件的。由此想到，如果选定第一本书后，就立即检查下一位是否符合条件。例如，第一个数选3，第二个数选4后，立即检查，发现不符合条件，就应该另选第二个数。这样就把34XXX一类的分发在产生前就删去了，又减少一部分运算量。

综上所述，改进后的算法应该是：在产生排列时，每增加一个数，就检查该数是否符合条件，不符合，就立即换下一个，符合条件后，再产生下一个数。应为从第i本数到第到第i本书的寻找过程时相同的，所以可以用回溯算法。算法设计如下：

```C++
int search(i)
{
	for (j = 1; j <= 5; j++)
	{
		if (第i个同学给第 j 本书符合条件)
		{
			记录第i个数
				if (i == 5) 打印一个解;
				else search(i + 1);
			删去第 i 个数
		}
	}
}
```

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

int book[6], c;
bool flag[6], like[6][6] = {
	{0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,1,1,0},
	{0,1,1,0,0,1},
	{0,0,1,1,0,0},
	{0,0,0,0,1,0},
	{0,0,1,0,0,1}
};

void search(int i);
void print();

int main()
{
	search(1);							//从第1个开始选书，递归
	return 0;
}

void search(int i)						//递归函数
{
	for (int j = 1; j <= 5; j++)		//每个人有5本书可选
		if (!flag[j] && like[i][j])		//满足分书的条件
		{
			flag[j] = 1;				//把选中的书放入集合flag中，避免重复被选
			book[i] = j;				//保存的i个人选中的第j本书

if (i == 5) print();		//i==5时所有的人都分到书，输出结果
			else search(i + 1);			//i<5时，继续递归分书
			flag[j] = 0;				//回溯:把选中的书放回，产生其他分书的方案
		}
}

void print()
{
	c++;														//方案书累加1
	cout << "answer " << c << ":\n";
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
		cout << i << ": " << char(64 + book[i]) << endl;		//输出分书的算法
}
```

这个我是对了的，哈哈哈哈，应为我刚刚写出来了就来更新博客呀，，，，^_^

我都是篇博客更新很久的，，，这篇博客是3月21日发布的可是现在已经4月4号凌晨了。

是不是博主学的好慢哦~

主要是都是在周末写的博客。

就先这样了，还有一个题，明天在更新哈哈哈哈。

晚安~~

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3398168442.png)

### 例8：跳马问题

在5*5格的棋盘上有一个中国象棋的马，从（1，1）点出发，按日字跳马，它可以朝8个方向跳，但不允许出界或跳到已跳过的格子上，要求马跳遍整个棋盘，输出跳的顺序。

</div>

这是书上的：

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>

using namespace std;

int u[8] = { 1,2,2,1,-1,-2,-2,-1 },
	v[8] = { -2,-1,1,2,2,1,-1,-2 };		//8个方向的x，y增量

int a[100][100] = { 0 }, num = 0;		//记每一步走在象棋的哪一格和棋盘的每一格有没有被走过
bool b[100][100] = { 0 };

void search(int, int, int);				//以每一格为阶段，在每一阶段中试遍8个方向
void print();							//打印方案

int main()
{
	a[1][1] = 1, b[1][1] = 1;
	search(1, 1, 2);
	cout << num << endl;
}

void search(int i, int j, int n)
{
	int k, x, y;						//这三个数一定要定义为局部变量
	if (n > 25)
	{
		print();						//达到最大规模打印、统计方案
		return;
	}
	else {
		for (k = 0; k <= 7; k++)
		{
			x = i + u[k];
			y = j + v[k];
			if (x <= 5 && x >= 1 && y <= 5 && y >= 1 && (!b[x][y]))
			{							//如果新坐标轴在棋盘上，并且这一格可以走
				b[x][y] = 1;
				a[x][y] = n;
				search(x, y, n + 1);	//从(x,y)去搜下一步
				b[x][y] = 0;
				a[x][y] = 0;
			}
		}
	}
}

void print()
{
	num++;
	if (num <= 5)								//统计总方案
	{
		for (int k = 1; k <= 5; k++)			//打印出前5种方案
		{
			for (int kk = 1; kk <= 5; kk++)		//打印本次方案
			{
				cout << setw(5) << a[k][kk];
			}
			cout << endl;
		}
	}
}
```

我刚刚写的：运行时间短一点哈哈哈哈

```C++
#include<stdio.h>

int a[6][6]={0};
int count=2;
int number=0;

const int dx[]={0,1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
const int dy[]={0,2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};

void dfs(int x,int y);
void print();

int main(void)
{
	a[1][1]=1;
	dfs(1,1);
	printf("\n\n number = %d\n",number);
	return 0;
}

void dfs(int x,int y)
{
	int i,j;
	for(i=1;i<=8;i++)
	{
		if(x+dx[i]>=1&&x+dx[i]<=5&&y+dy[i]>=1&&y+dy[i]<=5&&(!a[x+dx[i]][y+dy[i]]))
		{
			x+=dx[i];
			y+=dy[i];
			a[x][y]=count;
			count++;
			if(count==26)
			{
				print();
			}else{
				dfs(x,y);
			}
			count--;
			a[x][y]=0;
			x-=dx[i];
			y-=dy[i];
		}
	}
}

void print()
{
	number++;
	if(number<=5)
	for(int i=1;i<=5;i++)
	{
		for(int j=1;j<=5;j++)
		{
			printf("%3d ",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
```

到这里已经更新完了，这一篇文章更新这么久^_^

14天，两周。qvq

</div>

最后修改：2022 年 03 月 11 日

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3 条评论

wibus
2021-04-04

是个很强的大佬啊啊啊

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XJ
2021-04-04

666OωO

回复
blue
2021-03-29

好东西呀，记得还是挺详细的，对新手来说挺友好的，博主666|´・ω・)ノ

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本当迷
哈哈时过境迁再看一遍帆的文章质量还是那么高
挺胸的打工人
感谢博主分享
菜菜
一天就学一些我不知道的东西(´இ皿இ｀)
zhanqy
博主赛高！
null ？？［］
还可以把扩展运算符加上呀，这个很有用［…arr］，用于数组合...

【算法基础】搜索与回溯算法

Fivk • 2021 年 03 月 21 日

# 算法介绍

---

# 算法框架

* 递归回溯算法框架[一]

* 递归回溯算法框架[二]

---

# 算法例题

### 例1：素数环

素数环：将1到20这20个数摆成一个环，要求相邻的两个数的和是一个素数。
</div>

* 数据初始化
* 递归填数：判断第i个数填入是否合法。

1. 如果合法：填数；判断是否达到目标（20个已填完）：是，打印结果；不是，递归填下一个；
2. 如果不合法：选择下一种可能。

int main(int argc, char* argv[])
{
	search(1);
	cout << total << endl;		//输出总方案数
	return 0;
}

void print()
{
	total++;
	cout << "<" << total << ">";
	for (int j = 1; j <= 20; j++)
		cout << a[j] << " ";
	cout << endl;
}

bool pd(int x, int y)
{
	int k = 2, i = x + y;
	while (k <= sqrt(i) && i % k != 0) k++;
	if (k > sqrt(i)) return 1;
	else return 0;
}
```

我输出了很久3天了。。。。到了6千万，然后。。不小心让电脑关机了

有兴趣的朋友可以试一试，发给博主哦^_^

![博主还没有输出完，预计上亿结果。](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/1439764007.png)

### 例2：全排列

全排列plus：设有n个整数的集合{1，2，......，n}，从中任意取出r个数进行排列（r<n），试列出所有的排列。
</div>

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;

int num, a[10001] = { 0 }, n, r;
bool b[10001] = { 0 };
void search(int);						//回溯过程
void print();							//输出方案

int main()
{
	cout << "input n,r:";
	cin >> n >> r;
	search(1);
	cout << "number=" << num << endl;	//输出方案总数
	return 0;
}

void print()
{
	num++;
	for (int i = 1; i <= r; i++)
		cout << setw(3) << a[i];
	cout << endl;
}
```

博主大一上，遇到了这个题，当真的不知道怎么下手，现在看来，是真的好简单。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3014795148.png)

### 例3：拆分自然数

任何一个大于1的自然数n，总可以拆分成若干个小于n的自然数之和。当n=7，共有14种拆分法：

7=1+1+1+1+1+1+1

7=1+1+1+1+1+2

7=1+1+1+1+3

7=1+1+1+2+2

7=1+1+2+3

7=1+1+5

7=1+2+2+2

7=1+2+4

7=1+3+3

7=1+6

7=2+2+3

7=2+5

7=3+4

total=14

</div>

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;

int a[10001] = { 1 }, n, total;
void search(int, int);
void print(int);

int main()
{
	cin >> n;
	search(n, 1);
	cout << "total=" << total << endl;
	return 0;
}

void search(int s, int t)
{
	int i;

if (s == 0) 
				print(t);//当s>0时，继续递归
			else 
				search(s, t + 1);

s += i;						//回溯：加上拆分的数，以便产生说有可能的拆分
		}
	}
}

void print(int t)
{
	cout << n << "=";
	for (int i = 1; i <= t - 1; i++)	//输出一种拆分方法
		cout << a[i] << "+";
	cout << a[t] << endl;
	total++;							//方案数累加 1
}
```

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/2510304376.png)

### 例4：八皇后

八皇后问题：要在国际象棋棋盘中方八个皇后，使任意两个皇后都不能互相通吃。

（提示：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。）

放置第i个（行）皇后的算法为：

</div>

如果斜线不分方向，则同一斜线上两皇后的行号之差的绝对值之差相同。在这种方式下，要表示两个皇后 i 和 j 不在一列或斜线上的条件可以表述为：

```C++
(a[i]!=a[j)&&(abs(i-j))!=abs(a[i]-a[j])
//i 和 j 分别表示两个皇后的行号
```

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

bool d[17] = { 0 }, b[9] = { 0 }, c[17] = { 0 };
int sum = 0, a[9];
void search(int);
void print();

int main()
{
	search(1);						//从第 1 个皇后开始放置
	return 0;
}

void print()
{
	int i;
	sum++;							//方案数累加 1
	cout << "sum=" << sum << endl;
	for (i = 1; i <= 8; i++)		//输出一种方案
		cout << setw(4) << a[i]; 
	cout << endl;
}
```

现在给你看了哦，八皇后问题有92种解。也是大一上，我现在也刚刚大一下嘛，当时读完题目感觉收到降维打击。qvq

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3415955080.png)

### 例5：马的遍历

中国象棋半张象棋盘如图所示。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/03/1811036926.png)

马自左下角往有上角跳。今规定只许往右跳，不许往左跳。比如按照图中一种跳行路线，并将所经路线打印出来。打印格式为：

0,1 -> 2,1 -> 3,3 -> 1,4 ->3,5 ->2,7 -> 4,8 ......

</div>

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/03/1794011921.png)

如图，马最多有四个方向，若原来的横坐标为j、纵坐标为i，则四个方向的移动可表示为：

1. (i,j) -> (i+2,j+1)		(i<3,j<8)
2. (i,j) -> (i+1,j+2)		(i<4,j<7)
3. (i,j) -> (i-1,j+2)		(i>0,j<7)
4. (i,j) -> (i-2,j+1)		(j>1,j<8)

搜索策略：

1. a[1]=(0,0);
2. 从a[1]出发，按移动规则依次选定某个方向，如果达到的是(4,8)则打印路径，否则继续搜索下一个到达的顶点。

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>

using namespace std;

int a[100][3], t = 0;							//路径总数和路径
int x[4] = { 2,1,-1,-2 }, y[4] = { 1,2,2,1 };	//四种移动规律

void search(int);								//搜索
void print(int);									//打印

int main()
{
	a[1][1] = 0;
	a[1][2] = 0;								//从坐标（0，0）开始往右跳第二步
	search(2);
	cout << "count = " << t;
	return 0;
}

void print(int n)
{
	int i;
	t++;
	for (i = 1; i < n; i++)
		cout << a[i][1] << ',' << a[i][2] << " -> ";
	cout << "4,8" << endl;
}
```

这个是我学习前面几个题后，我自己写出来的第一个回溯题，当时写出来真的好高兴。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3585108915.png)

### 例6：工作效益

设有A、B、C、D、E五人从事J1、J2、J3、J4、J5 五项工作，每人只能从事一项，他们的效益如图所示

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/1350730184.png)

每个人选择 五项工作中的一种，在各种选择的组合中，找到效益最高的一种组合输出。

</div>

一、用数组f储存搜索中 工作选择的方案；数组g存放最优的工作选择方案；数组p用于表示某项工作有没有被选择了。

二、

1. 选择p[i]=0的第i项工作
2. 判断效益是否高于max已记录的效益，若高于则更新g数组及max的值。
3. 搜索策略：回溯法（深度优先搜索dfs）。

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

int data[6][6] = {
	{0,0,0,0,0,0},
	{0,13,11,10,4,7},
	{0,13,10,10,8,5},
	{0,5,9,7,7,4},
	{0,15,12,10,11,5},
	{0,10,11,8,8,4}
};

if (step < 5) 
				go(step + 1, t);
			else if (t > max1)
			{
				max1 = t;
				for (int j = 1; j <= 5; j++)
					g[j] = f[j];		//保存最优效益下的工作选择方案
			}

t -= data[step][i];			//回溯
			p[i] = 0;

}
}

这个不知道对没对，应为是我上个星期做的题了，应该是没对，应为如果对了我因该会记得很清楚，但是写了。

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/186568606.png)

### 例7：选书

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/4007444238.png)

</div>

算法设计：

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
using namespace std;

int book[6], c;
bool flag[6], like[6][6] = {
	{0,0,0,0,0,0},
	{0,0,0,1,1,0},
	{0,1,1,0,0,1},
	{0,0,1,1,0,0},
	{0,0,0,0,1,0},
	{0,0,1,0,0,1}
};

void search(int i);
void print();

int main()
{
	search(1);							//从第1个开始选书，递归
	return 0;
}

void print()
{
	c++;														//方案书累加1
	cout << "answer " << c << ":\n";
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
		cout << i << ": " << char(64 + book[i]) << endl;		//输出分书的算法
}
```

这个我是对了的，哈哈哈哈，应为我刚刚写出来了就来更新博客呀，，，，^_^

我都是篇博客更新很久的，，，这篇博客是3月21日发布的可是现在已经4月4号凌晨了。

是不是博主学的好慢哦~

主要是都是在周末写的博客。

就先这样了，还有一个题，明天在更新哈哈哈哈。

晚安~~

![](https://blog.fivk.cn/usr/uploads/2021/04/3398168442.png)

### 例8：跳马问题

</div>

这是书上的：

```C++
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>

using namespace std;

int u[8] = { 1,2,2,1,-1,-2,-2,-1 },
	v[8] = { -2,-1,1,2,2,1,-1,-2 };		//8个方向的x，y增量

int a[100][100] = { 0 }, num = 0;		//记每一步走在象棋的哪一格和棋盘的每一格有没有被走过
bool b[100][100] = { 0 };

void search(int, int, int);				//以每一格为阶段，在每一阶段中试遍8个方向
void print();							//打印方案

int main()
{
	a[1][1] = 1, b[1][1] = 1;
	search(1, 1, 2);
	cout << num << endl;
}

我刚刚写的：运行时间短一点哈哈哈哈

```C++
#include<stdio.h>

int a[6][6]={0};
int count=2;
int number=0;

const int dx[]={0,1,2,2,1,-1,-2,-2,-1};
const int dy[]={0,2,1,-1,-2,-2,-1,1,2};

void dfs(int x,int y);
void print();

int main(void)
{
	a[1][1]=1;
	dfs(1,1);
	printf("\n\n number = %d\n",number);
	return 0;
}

void print()
{
	number++;
	if(number<=5)
	for(int i=1;i<=5;i++)
	{
		for(int j=1;j<=5;j++)
		{
			printf("%3d ",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
}
```

到这里已经更新完了，这一篇文章更新这么久^_^

14天，两周。qvq

</div>

【算法基础】搜索与回溯算法

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